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编、审书者为何犯最不应犯的概念性错误（压缩版）？

——对应变数与对应关系是两个根本不同的概念

黄小宁

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邮编510631
函数是数学中最重要的概念之一。

当所研究的集合是数集时“x的函数”就是x的对应变数。y =f(x)是按照变化（对应）法则 f变化的变数。变化（对应）法则f与按照f取数变化的变数y不能混为一谈。“函数关系”就是变数y =f(x)与变数x之间的互为对应关系：x←→y=f(x)。函数与函数关系是两个根本不同的概念。“变数的变化法则”与“变数”本身有极显著的质的区别。例如函数有变域，而给定的函数关系与函数的变化（对应）法则就不存在变域。

“数集D的各元x都须与100x对应”这一对应法则不是函数，变数100x才是函数。x的对应变数y=f(x)是函数，而规定其如何对应变化的对应变化法则f不是函数。一种对应法则（关系）：买卖双方的“n元钱对应y=2n个包子”与法则中的一个变数y=2n是两个根本不同的概念。

然而令人震惊的是竟有不少书本出现最不应该出现的概念性错误。例如：“函数是从自变量的输入值产生出输出值的一种法则或过程。”（COMAP著，申大维等译《数学的原理与实践》，高等教育出版社、德国施普林格出版社，1998.8。）

又例如：“…，那么这个关系f就叫做从x到R的函数关系，简称为函数，”（姚孟臣《大学文科基础数学(第一册)》31页，北京大学出版社，1990.3。）

有数学家说:概念搞错了,头脑会变成一团浆糊。
“函数的近代定义：设A，B都是非空数集，f：A→B是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作
y=f(x)。”显然将对应变数与对应关系、对应法则混为一谈了。这会在初学者中造成极大的思想混乱。

“函数的三要素：定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f，称为函数的三要素.” 如函数的定义域非函数本身一样， 函数的对应法则f是函数的三要素之一，也非函数本身！
学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。
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[ 本帖最后由 hxl268 于 2007-12-30 19:17 编辑 ](※本文转自：华师后院http://www.myscnu.com)

horseluke

联系数科院老师进行解答应该是最好的方法之一。(※本文转自：华师后院http://www.myscnu.com)

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一句话：父母的子女不是父母，对应变数y(x)的对应变化法则不是y。由“父母”知其有子或女，但子或女不是其父母；由y=f(x)知其有对应变化法则f：x←→y=f(x)，但f≠y。

学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。

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某些自以为是“科学警察”的人其实是连“父母的子女不是其父母”也不懂的精神病嫌疑人。(※本文转自：华师后院http://www.myscnu.com)

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y轴上的一个动点y=f(x) 按照变化（对应）法则 f变动，但动点y不是不变的变化法则。(※本文转自：华师后院http://www.myscnu.com)

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y轴上的一个动点y=f(x)（书上声明这是“动点的流动坐标y=f(x)”的简写） 按照变化（对应）法则 f变动，但动点的流动坐标y不是不变的变化法则。
“函数的三要素：定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f.” “函数”：（y=f(x)的）对应变化法则f的对应变化法则是什么？f的定义域、值域又是什么？函数三要素都不具备的f不是函数！
一句话：父母的子女不是其父母，对应变数y(x)的对应变化法则不是y。“父母”反映其有子或女，但子或女不是其父母；y=f(x)反映其有对应变化法则f：x←→y=f(x)，但f≠y。
学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。
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y轴上的一个动点y=f(x)（y表示动点的流动坐标） 按照变化（对应）法则 f变动，但动点的流动坐标y不是不变的变化法则。

“函数的三要素：定义域A，值域C以及从A到C的对应法则f.” “函数”：（y=f(x)的）对应变化法则f的对应变化法则是什么？f的定义域、值域又是什么？函数三要素都不具备的f不是函数！

一句话：父母的子女不是其父母，对应变数y(x)的对应变化法则不是y。“父母”反映其有子或女，但子或女不是其父母；y=f(x)反映其有对应变化法则f：x←→y=f(x)，但f≠y。

X轴的一个动点x（y）的映射（对应）动点y(x) 是y轴上的动点，两点有互为映射（对应）的关系，但x、y是表示这种关系的两点在轴上位置的变数，而不是映射（对应）关系本身。例如：y=2x表示：

x=1的映射（对应）数2x=2，

x=2的映射（对应）2x=4，

x=3的映射（对应）2x=6，

…….

映射（对应）数2x=2、4、…都不是关系与法则，而是映射（对应）关系中的映射数。2x是x的映射（对应）变数。

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函数与函数关系是两个根本不同的概念。师生关系中的老师不是一种关系，函数关系中的函数不是一种关系。
在两个非空集之间建立的一个对应关系叫做映射。“设A,B是两个集合，如果按照某个确定的对应法则f，对于集A中的任何一个元素，在集B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做为集A到集B的映射。记作：f：A→B。集是数集时此映射就是函数。”显然是错误的定义。一种对应关系，不是取数的函数。(※本文转自：华师后院http://www.myscnu.com)