50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数
黄小宁
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（此文公开发表于：科技信息，2007年第36期）
[摘要]极其简单明了地证明了无穷集G的真扩集｛a｝∪G必比G多一个元素a。从而仅用50个字符就推翻了5千多年“常识”：数学内无最大自然数；仅用50字符就推翻了5千年“无最小正数”；仅用10字符就推翻了百年集论。指出：变量与变量之间也是有大小数量关系的，y（x）>（<）x中两变量的变域必不相等！不能将现在数学以内的数与以外的数混为一谈。揭示：所有已知自然数组成的N仅为自然数宇宙中的一颗星球！书上x轴是无穷长直线段且有最小正数点；已知正数全体仅为正数宇宙中的一颗星球！
关键词
重大中学数学错误；最大自然数；50字推翻5千年“无最小正数”；10字推翻百年集论；推翻数学公理及定理；现在数学外的数；搞错变量的变域
说无穷数集J内一个不漏地一切数x全都有数y比其小（大），不就是说有数y<（>）J内一切数x吗？不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。
一、G的真扩集K＝｛a｝∪G必显示K比G多一个元素a
两无穷数集A与B是否分别包含同样多（个）元素？若A的所有相应数y＝f（x）分别与B的所有元x一一对应成双配对“结婚”后，A还多出一数y≠f（x）“单身”而没能与B的元素x成双配对，显然就表明A比B多包含了一个元素，若还多出无穷多个数y≠f（x）“单身”，就表明A比B多出无穷多个元素。总之，若B的所有元x与A的一部分——真子集的各数y一一对应，就表明A至少比B多含一个元素。康脱就断定无理数比自然数多；…。
两集不对等的原因是一集至少比另一集多或少一个元素。
任何可有真扩集的集G～G。给G增添一个元素a得G的真扩集K＝｛a｝∪G就极显然不～G了：K的一部分G的各数与原G的所有元一一对应“结婚”，而另一部分：一个数a就“单身”，表明K比G多出了一个元素。所以应有集合常识：
①任何可有真扩集的集G与其真扩集KÉG不对等、更不相等，原因是K至少比G多出一个元素,即K的一部分G包含不了K的全部元素。
②G的真扩集K＝｛a｝∪G必显示K比G多一个元素a；显然任何～G的集都比K少一个元素。
二、39字推翻百年集论——凡无穷集都不能与其任何真子集对等
任何至少有两元素的集A都可是其两不相交非空部分的并。设E是A的任一非空部分，A-E=V，则
A=E∪V，即A是E的真扩集，E与V不相交。
据①②,A不能～E。由于事关极重大，现再作一证明：
P＝｛0，1，2｝与Q=P∪｛3｝的一部分P对等，就不可与Q对等了。同样，原E各元与A的一部分E各元一一配对了，哪还来多余的数与A另一部分V各元相配对？——这里39个字符数就推翻了百年集论！
一眼看出V包含多少（个）元，A就比E多多少（个）元。故由上一眼看出有：
H定理：任何无穷集J的全部元素必多于其任何一部分的元素。于是凡～J的真子集的集绝不可～J。
这就推翻了一系列的“定理2
在可数无限集中增加或减少有限个元素，还是可数无限集。…。定理3
两个可数无限集的并集是可数无限集。…。推论 如果A是无限集，B是可数集，那么A∪B～A。…。定理4
…” （田开璞《现代科学数系论》12-13页）例如书上的自然数集N不～它的真扩集｛０.１｝∪N。
三、50字推翻五千年科学“常识”：无最小正数
从代数角度来说，代数式中至少能代表2个数的字母就是变量，令其只代表1个数时就是定量，不能代表数的字母不是变数。所以变量与变（定）量之间也是有大小数量关系的。
有傻瓜相机也有傻瓜数学：说y>（<）x中的 x可一个不漏地遍取一切正数，就是说有数y必可一个不漏地遍比任何正数都大（小）。当然，缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的
变域是变量所有能取的数组成的集合。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
约定：凡“定义域”三字都可由D代表、“值域”都可由Z代表。“变数y=f(x)”是说y的D的各元x均有对应数y(x)，表明变量x所取各数也均由x代表（上、下文联系来看就知此x是变量，彼x是定量。），D内各元都有一个共同的“名字”叫x。所以x不但是变量，同时也代表D内任一定量。张3、李4、王5、…都是人；x=1、x=2、x=3、…中的数都是x。
凡变量必有变域,代表变数的字母必代表其变域内的任何一个数。所以，y>x的含义是对x的变域D的一切x都有y>x，故y显然可在D外取数y>D的一切x。y＜x直接表达有数y＜x的变域内的所有x，以及有数x＞y的变域内的所有y；因为式中变量都必能一个不漏地遍取变域的所有数。故可有：
定理A：y（x）>（<）x中两变量的变域必不相等！
y =f(x)＝kx>x>0的D的各元x一个不漏地均由x增大为y=kx>x>0所形成的以y为元的新集Z就不能还是原集D了。否则何来一个不漏地“全都变大”？故中学数学断定D=Z是违反语文常识的重大错误。
由 0<x<1得 0< kx=y < k（>1的定量）。
D=（0，1）的各元x均有对应数y=kx与其成双配对；所有对应数y组成的集Z～D：D内有多少个x，Z内也有多少个y。
Z～（0，1）∪[1，k）=I的一部分D=（0，1）。据H定理，I的元素多于其一部分D～Z的元素，故IÉZ必有不可纳入Z的“更无理”数y≠f（x）。由函数知识，I内形如y = k（y/k）=kx>x>0的正数y都∈ZÌI、都有比其小的对应正数x＝y/k。所以：
Z只是I的一部分表明I内有不∈Z的数y≠kx而无比其小的对应正数x=y/k，此y≠k（y/k）显然是最小正数0′——此段50个字符就推翻了五千年数学一直认定的：无0′。物极必反，量变引起质变。超过一定限度的太小正数x小至≠k（x/k）!详论见[1]。
“Z的所有元y=kx>x>0”直接表达有数0<Z的所有元kx，同时也直接表达有正数x<Z的所有元kx。关键是式中y可一个不漏地遍取Z的一切数使0与代表正数的x都必可一个不漏地遍比Z的所有kx都小而成为(代表)Z外的数。要害是“变（定）量x”中的x都代表数！
各已知正数x（所有已知正数都由此x代表）>>x/1000>>x/1000，000>>…>>…>>…表明其相比下全都是距0无限远的极大极大…..（无穷多个极大）的无穷大正数x。只识此类x犹如只识光年尺度。
设（0…1）表示书上x轴的0与1之间的所有数组成的集。按照证明0′的思路易证：x轴有最小正数x =⊕使 ⊕/k不∈x轴。故x轴是由长度为⊕的点组成的点集且各点远不能与各实数一一对应。
四、初三数学就有违反语文常识的重大错误—— y = n + 1的定义域显然≠N
5千多年数学史上人类最早认识的数是非0自然数，对这类数的研究已有五千多年。小学老师就教育学生：任何自然数与1的和必还是数学的自然数。此“公理”的数学表达式是：
任何自然数n < n + 1∈N＝｛0，１，２，…，n，…｝
上式说由现在数学范围内的所有自然数组成的N的各元素n均有同属N的后继数n+1。数学常识：“任何自然数n”中的n可取现在数学的任何（所有）自然数。
若N的各元n都有对应数n+1，则所有的n+1都∈N吗？
数学式中各变量一般均只能取数学领域内的数。凡变量必能有序地取尽其变域内的所有数。狄利克雷：a和b是两个确定的值，x是一个变量，它顺序变化取遍a和b之间所有的值。（李晓奇《先驱者的足迹——高等数学的形成》90页）。
判定自变量都能取些什么数是初三数学的重要内容。课本断定
在N内取值的y =n + 1> n = 0，1，2，…
中的自变量n能遍取N的一切数——重大错误！式中y随着n的变大而变大，说式中n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，就是说y可大到> N的一切数，即说有（属N的）数y > N的一切数——重大病句！此式一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以式中数列≠N，即y =n + 1的定义域≠N！
只有完全丧失了正常思维能力的人才认识不了此一字那么浅的道理啊！
有明摆着的傻瓜事实。课本及老师断定y（x）= k x>> x＞0中的x可取任何正数，其变域包含所有正数。这显然是重大错误：说式中y可>>任何正数，即说有正数y>>任何（所有）正数——重大病句！“对任何自然数n都有y =n-1 < n ”显然表达y可<任何自然数，即说有数y<一切自然数；同样，“对任何自然数n都有自然数y=n+1 > n ”显然表达有自然数y>一切（任何）自然数——重大病句！
据定理A，初三数学就有重大错误：断定直线函数y=y(x)=ax及y=y(x)=x+a等的定义域不论a是何实数一律包含所有实数。建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
天才少年韩寒猛烈批评语文教育。其实，从西方传进来的数学教育更须作深刻的反思！不能只会背书却不明其实质内容。反复强调：若说代数式y<（>）x中的x代表任何正数即说任何正数都能由此x代表，则此式所代表的内容之一：有数y<（>）任何正数。
有人说“打倒张3”表示打倒张3，而“打倒李4”就非表示打倒李4；理由是张3罪大恶极而李4功德无量。有“内行”说：
⑴“对任何（所有）正数x都有数y =x-1< x”
⑵“对任何正数x都有数y =x+1> x>0”
中的⑴表达有数y <任何正数，而⑵就非表达有数y >任何正数，不是病句，不能认为其是错误的表达式；理由是有数y <任何正数，而没有数y >任何正数；于是人类未认识0与负数时⑴也非表达有数y <任何正数，理由是没有非正数y <任何正数。
如此“高深”的理论能成立，世界上就无“病句”概念了！正常人谁能接受思想混乱的“高深”理论？
有工程师“老师”将0.001误为0.01造成重大损失，却辩解说：我当时写出的0.01不是表示0.01而是表示0.001，应具体情况具体分析地将其正确理解为0.001；损失的责任应由错误理解0.01含义的施工员承担。
此不讲职业道德的辩解将全球人民都当成是大傻瓜来糊弄了。
关键是若李4功德无量，就绝对不能有“打倒李4”，须有错必纠。同样，若正数组成的F的任何（所有）元x都有对应正数y（x）>（<）x，则F就绝对不能包含所有正数即不能有⑵！因为有正数y >（<）F的任何（所有）元x。不明此理就要频频出现上述重大病句。
所有已知n组成的书上的N的各非0 n （所有已知正自然数都由此n 代表）<<10 0…0n<<100…0，00…0n<<…<<…表明其相比下全都是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小正自然数，虽然其中有不少n都>“任给定正数”M。所以书上N仅为数学内的自然数宇宙中的一颗星球！以球为宇是近于宇宙那么大的错误；没能及时发现必使人推出错上加错的一系列更重大错误，例如使康脱“推翻”最起码科学常识：部分<全体。常识性错误是最重大根本错误！
五、10字推翻百年集论，50字推翻五千年“无最大自然数”
变数y= n + 1是说n所有能取的数组成的
D＝｛0，1，2，…，n，…｝
的各元n∈N均有对应数y = n + 1∈N与之成双配对“结婚”。所有对应数y组成的Z＝｛1，2，…，n+1，…｝～D。
N内形如n < n + 1 = y∈N的数n即凡后继数n + 1∈N的n的全体组成了D。问题是中学数学断定D = N。集合论断定
Z～D=N＝｛0｝∪Z（据②N比Z多一个元素0）
即断定Z是N的一部分且Z～D=N。据②这是一目了然的百年重大错误：N～Z且～Z的真扩集——这里10个字符就推翻了百年集论！
所以D≠N——这5个字符意味着N内各n并非都∈D而必有D外的数n使其后继n + 1不∈N，这显然就是N的最大数n。
那么N＝｛0｝∪Z吗？
分析：D外数n就是N的最大数n，故N内只能有一个D外数，故N≠D只能比D多一元。所以，由Z～D及Z不含0是N的一部分，推知N必＝Z的真扩集｛0｝∪Z——刚好比D～Z多一元。
据②N＝｛0｝∪Z显示N比Z～D多一个数0，故比D多一元的NÉD必有一不可纳入D的D外数n< n+1不∈N——此段不够50字符说明：
数学有史5千多年来一直断定的N内“无n”和“世纪之交最伟大的科学家之一”（郭熙汉等《数学知识探源》160页）康脱推出的数学引以为豪的百年无穷集论，其实都是重大错误！建立在此定论之上的理论必是错上加错的更重大错误。所以：
N各元可排为一无穷数列：0，１，２，…，n，…，n。n＋１等若还是数，则这类数不∈N，而是额外派生出来的现在数学无需用到的数学以外的另类数，因为事先已规定N含现在数学内的一切n。有内必有外，由上可知说N的各元n都有对应数n+1，就是说有N外自然数。这类数不能与N内数混为一谈。将两类性质不同的数混为一谈就要铸成大错。详论见[2]。不能将现在数学内的数与现在数学后的扩大了研究范围的数学内的数混为一谈（若在一研究领域内只须用到自然数，则非自然数就不是此域要用的数，可称为域外数，要将1表为（1/100）100等，就要借助于此域外的分数。同理，现在的数学可能有时需借助于N外的数进行研究）。
六、语文常识表明x轴是无穷长直线段
[1]论证了现在数学内的所有正数可排为无穷数列：0′,20′, 30′，…，…。故按照证明n
的思路易证：数列中有最大正数。
书上x轴的所有正数组成的R+的各元x都有性质：
x<<100…0x<<100…0，00…0x<<…<<…
表明其相比下全都是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小正数，虽然其中有不少x都>“任给定正数”M。所以R+仅为数学内的正数宇宙中的一颗星球！
据语文常识，“对于x轴的所有数x都有（对应）数x+1=y比x大”明确表示必有y>x轴的一切实数x （显然相应的y轴比x轴长），即说x轴有上界！从而必有上确界。所以语文常识石破天惊地表明x轴是无穷长直线段！
凡违反语文常识的理论必是自相矛盾的错误理论。按照以上证明n
的思路也易证：x轴有最大正数。
正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。c>M显然随j的增大而增大。
变域为无穷集D=[0，1]的x在由大到小取值的过程中必有最后一次的取值：取至0后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。这是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。
在一科学研究K中，所需用的每一正数x都有对应数x+1>x，但并非所有的x+1都是K所需用的数。同理，在当前所有科学研究S中所需用的每一正数x若都有对应数x+1>x，则并非所有的x+1都是S所需用的数。
七、结束语
“2500年芝诺著名世界难题难在‘点无大小上’，一旦人们认识到直线段是由有大小的点一个紧挨一个地排列而成的，难题就迎刃而解了[3]。”；…。数学革命成功后给人类带来的好处是说不完的，仅从教育来说，全新的东方数学必是朴实的科学真理，从而易学易教将学生从沉重的学习负担中解放出来，进而必能缩短学制从而创造出巨大的经济效益。正确的符合实际的无穷集论必能下放到中、小学，“大道至简至易”是至理名言啊！违反语文常识的自相矛盾的“高深小道”不仅仅至繁至难，使人花大量的时间与精力还是不知其所云那么简单，更要命的是其会将人引入歧途。周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
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一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
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[4]黄小宁
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[6]黄小宁
再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[7]黄小宁
极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报·教研版［N］，2002.11.22，4版。
[8]黄小宁 教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0，见： 中国学校教育研究· 数学· 计算机卷[C]，北京：中国民主法制出版社，2004.3:8。
[9]黄小宁 数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11:994。
[10][11]黄小宁 极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，同[9]，2003.9：367—369。
电联:020-88506843(下午)初稿完成于2007(※本文转自：华师后院http://www.myscnu.com)
