19字推翻“实数与数轴的点一一对应”、“R完备”定理
———几百年“数轴无最小正数点”是重大错误
黄小宁
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一、数学启蒙知识
初中常识：y>x中的x可取何数，y就可<何数，y显然可<一切能由式中x取的数，即y必可取x的变域之外的数，一切能由此x取的数组成的无穷集D是x的变域。代数就是用字母代表数。变量x所取各数也均由x代表，D内各元都有一个共同的“名字”叫x 。最显然：若对于D的任何元x都有y<x，则此y必可< D的任何（所有）x。关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。
从代数角度来说，代数式中至少能代表2个数的字母就是变量（数），令其只代表1个数时就是定量，不能代表数的字母不是变数。所以变量与变（定）量之间也是有大小数量关系的。
书上x轴的所有正实数组成的集合记为R+ 。
代数常识：不论y能代表几个数，只要其可一个不漏地遍比R+的所有数x都小，则其必可代表R+外的数y<R+的一切数x，与y是否只能代表一个数没有任何关系。
二、19字推翻“实数与数轴的点一一对应”、“R完备”定理
S式：R+ 的任何元x>y=f（x）＝x/k>0——此19字符表达式中R+ 的各元x都有对应正数y=f（x）=x/k<x，同时也一目了然地直接表达有数0<R+的所有（任何）元x，以及有正数y< R+ 的任何（所有）元x——这就推翻了：“实数与数轴上的点一一对应”定（公）理以及断定R含所有实数的百年“R完备”定理。
关键是式中x可一个不漏地遍取R+的一切数使0与代表正数的y都必可一个不漏地遍比R+的所有x都小而成为（代表）R+外的数，即y必可代表R+外的正数。这石破天惊地表明R+外还有比无理数“更无理”的更无理正数！要害是“变（定）量y”中的y都代表数！对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识。
关键是“对于R+的一切数x都有对应正数y比其小。”显含此意：有用而不知的R+外正数y<R+的一切数x。当然，缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的。“对于实数轴的一切正数x都有对应正数y比其小。”明确表示有轴外正数y<轴的一切正数x。
故中学数学断定y的值域=R+且包含一切正数，是搞错变量的变域的重大错误。
起码数学常识：S式中的自变量x可由小到大、一个不漏地遍取R+的一切数x，使代表数的y必可一个不漏地遍比R+的一切数x都小，从而代表R+外正数y<R+的一切数x，即有正数y <R+的一切数x！否定此常识者暴露出其是数盲（学数学最关键的是须明白代数式所代表的全部内容，否则就是鹦鹉学舌，从而成为数学王国里的睁眼瞎。）。
反复强调：若代数式0<y<x中的x代表R+的任何正数即R+的一切数都由此x代表，则此式所代表的内容之一：有0及正数y<R+ 的任何（所有）正数x。否定此事实者是因其不知代数式中的变量就是至少能代表2个数的字母，正如不识字者不知“你犯错误了”表示你犯错误了一样。关键是只能代表1个数的y“是数”，不仅能代表1个数的变量y更“是数”！y<x中的x代表了一切可由其代表的数，y代表比x小的数。
三、39字推翻百年集论——凡无穷集都不能与其任何真子集对等
任何至少有两元素的集A都可是其两不相交非空部分的并。设E是A的任一非空部分，A-E=V，则A=E∪V，E与V不相交。E～E，给E增添一个集V得E的真扩集A=E∪V就显然不～E了：
H定理：A=E∪V不能～E。故凡～A的集要么=A，要么≠A，都不是A的真子集。
证明：P＝｛0，1，2｝与Q=P∪｛3｝的一部分P对等，就不可与Q对等了。同样，原E各元与A的一部分E各元一一配对了，哪还来多余的数与A另一部分V各元相配对？——这里39个字符数就推翻了百年集论！
关键是A的任何一部分E的各数均有与己相同的对应数，若E内有数再与V内数相对应，那就是重复对应了。
四、50字推翻“实数与数轴的点一一对应”、“R完备”定理以及几百年“数轴无最小正数点”
设[0…1]=D表示x轴的0与1之间的所有数加上0与1组成的数（点）集。
由0≤x≤1得 0≤x/k＝y≤１/k<１（k是>1的定量）。
DÌx轴的各元x都有对应正数y=f（x）=x/k<x与x成双配对；所有对应数y组成的集Z～D：D内有多少个x，Z内也有多少个y。V=［0...１/k］Ìx轴内形如x/k<x∈D的正数x/k＝y的全体组成了Z＝［0...１/k］x/k）。问题是V＝Z吗？
据H定理Z不是D的一部分，这表明Z内至少有一 y=x/k不∈D，这显然是R+外的数y<R+的一切数——此段不够50字符推翻了：“实数与数轴上的点一一对应”定（公）理以及断定R含所有实数的百年“R完备”定理。注意到各x都∈R+，故其中的x显然就是R+的最小数——比其小的对应正数y=x/k是R+外数。所以解析几何有史几百年来的“R+内无最小正数点”是重大错误。故断定Z＝［0...１/k］是搞错变量的变域的重大错误。
没能及时发现以上重大的核心错误必使人滚雪球似地推出错上加错的一系列更重大错误，不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）
参考文献
[1]黄小宁
50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息，2007年第36期。
[２]黄小宁
极浅显常识揭示数轴上的点远远不能与各实数一一对应，学习方法报·教研版［N］，2002.11.22，4版。
[３]黄小宁 数学书有隐瞒不了的极重大根本错误，见：科学中国人十年优秀论文选[C]，北京：人民日报出版社，2003.11:994。
[４][５]黄小宁 极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，同[３]，2003.9：367—369。
[６]黄小宁 极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研·数学·计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
电联:020-88506843(下午)初稿完成于2008-２－6。(※本文转自：华师后院http://www.myscnu.com)
